Monte dei Paschi di Siena il buco nero dell'illiquidità, dagli Expected Shortfalls ai modelli VaR Value at risk ,cosa non ha funzionato

CorSera.it by Matteo Corsini

La tragedia del MPS ha come principio un postulato,che ai fini del controllo del rischio degli investimenti finanziari,vi sono dei modelli statistico matematici da cui si ricavano questi dati come ad esempio il modello Var (Value at risk ) e gli Expected shortfalls.Meccansimi che fissano delle soglie sulle perdite potenziali, ma che nel caso di MPS, non solo non hanno funzionato,ma con ogni probabilità sono stati manipolati.Per questo motivo la BCE agita il campanello d'allarme e richiama la banca ,aumentandone a scopo cautelativo, il fabbisogno teorico di capitale ad almeno 8.8 miliardi di euro.Cosa di cui si meraviglia Pier Carlo Padoan.

Ma i motivi di allarme sono ben altri:tutte le informazioni rese dal management nel corso di questi ultimi anni, si sono sempre rivelate approssimative,alle volte inesatte,alcune altre destituite di ogni fondamento.Bugie che si rincorrono ad altre bugie.Quando una banca viene gestita snocciolando al mercato false indicazioni, questo è sintomo di un grave ed inarrestabile malessere, che non può essere più celato con alchimie di bilancio.Lo stato di decomposizione di MPS è evidente e ormai sotto gli occhi di tutti noi.Immaginare che l'a.d. Marco Morelli coadiuvato dal presidente Alessandro Falciai,abbia potuto garantire che MPS aveva liquidità per 11 mesi,quando i soldi erano finiti,significa che si cerca di chiudere ermeticamente il sistema per impedire che qualcuno possa arrivare a ficcare il naso. Fa bene il professor Zingales, in questo senso, a chiedere una commissione di inchiesta sui conti di MPS.Capire come si è arrivati a tanto.

Ma come detto,non sappiamo ancora se l'importo di 8.8 miliardi sarà idoneo a tamponare le falle originatesi nello stato patrimoniale di MPS. La carenza di liquidità ci dice che MPS non ha più capacità di monetizzare i suoi impieghi ad un ritmo sufficiente per coprire il ciclo finanziario,dunque il virus infetto ha eroso gli attivi in una tale maniera da essere lungamente sottoperformanti rispetto alle passività che si generano.

 

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come il rischio di liquidit`a causato dalla diffi- colt`a con cui un investimento riesce a trasformarsi in denaro rapidamente e possibilmente senza perdite. Gli istituti finanziari hanno sviluppato modelli statistico-matematici per la misurazione ed il controllo del rischio di mercato. La principale risposta `e stata data con l’elaborazione dei modelli Value-at-Risk (VaR). Il VaR `e diventato una misura standard nell’ambito della misurazione del rischio poich´e esprime, attraverso un numero, la misura della rischiosit`a di una posizione in azioni, opzioni, ecc.., fissando una soglia per le perdite che verr`a superata solo con una probabilit`a prestabilita. 

 

Un’altra misura di rischio che verr`a studiata in questa tesi `e l’Expected Shortfall che sintetizza in un unico valore la perdita media che un portafoglio o una posizione pu`o subire, in un arco temporale definito, con una certa probabilit`a. Si parler`a anche di misure di rischio non probabilistiche quali: • National amount • Factor-sensitivity • Stress test 

Notional amount Si tratta dell’approccio pi`u vecchio in cui si sommano i valori iniziali dei vari asset, in valore assoluto, eventualmente pesati per la rischiosit`a della classe a cui appartengono ovvero:

 

Si individua un vettore di fattori di rischio y in modo che An,t = An,t(y). Osservati i valori correnti y0 dei fattori e fissati M scenari per la loro evoluzione (y k T)k=1,...,M si definisce: rischio(π) = min 16k6M ∑ n πn(An,T (y k T) − An,0(y0)) ovvero la peggior possibile realizzazione del PL. Da sottolineare `e il fatto che cruciale `e la scelta degli scenari e che questo approccio `e utilizzato spesso in alternativa alle misure probabilistiche che si vedranno in seguito. 

Data la variabile aleatoria1 X, sia FX(x) = P(X 6 x) la sua distribuzione2 ; ricordando il punto 10 riportato nell’Appendice A definiamo, nei punti in cui F `e invertibile, il quantile di X di ordine α con α ∈ (0, 1) livello di confidenza come: qα(X) = F −1 X (α) ovvero come l’unico numero reale q tale che: FX(q) = P(X 6 q) = α Per come `e stato definito il quantile qα(X) gode delle seguenti propriet`a: * `e strettamente crescente in α; * `e continuo in α. Poich´e la Definizione 3.1 vale per α ∈ (0, 1), si possono dare le seguenti definizioni agli estremi: q0(X) := q0+ = inf{x|FX(x) > 0} ∈ R ∪ {−∞} q1(X) := q1− = sup{x|FX(x) < 1} ∈ R ∪ {+∞} Se FX ha densit`a3 fX si ricava: α = ∫ qα(X) −∞ fX(y)dy Osservazione 6. F non `e invertibile in α quando: • ha un tratto orizzontale ovvero `e piatta; • ha un salto ovvero esiste x tale che F(x −) 6 α < F(x). In questi casi si pu`o definire: qα(X) := inf{x|FX(x) > x} Si noti che, se F `e invertibile in α la definizione precedente coincide con la Definizione 3.1. Enunciamo un’ importante propriet`a:Se FX ha densit`a3 fX si ricava: α = ∫ qα(X) −∞ fX(y)dy Osservazione 6. F non `e invertibile in α quando: • ha un tratto orizzontale ovvero `e piatta; • ha un salto ovvero esiste x tale che F(x −) 6 α < F(x). In questi casi si pu`o definire: qα(X) := inf{x|FX(x) > x} Si noti che, se F `e invertibile in α la definizione precedente coincide con la Definizione 3.1. Enunciamo un’ importante propriet`a:

Se X ∼ U(0, 1), per la Definizione 3.1 e per il punto 4 nell’Appendice A e, ricordando la distribuzione uniforme in (0, 1) 4 si ha : qα(X) = α • Se X ∼ E(λ), ricordando la distribuzione esponenziale di parametro λ 5 si ha: qα(X) = − 1 λ ln(1 − α) Dimostrazione. FX(qα(X)) = α = 1 − exp(−λqα(X)) ⇒ α − 1 = − exp(−λqα(X)) ⇒ −α + 1 = exp(−λqα(X)) ⇒ ln(1 − α) = −λqα(X) ⇒ qα(X) = − 1 λ ln(1 − α) In altri casi il calcolo non `e esplicito e calcolabile analiticamente, ma solo numericamente: • SeX ∼ N (0, 1) 6 occorre usare la funzione MATLAB normcdf e norminv per ottenere il quantile; • SeX ∼ t(ν) 7 occorre usare la funzione MATLAB tinv per ottenere il

Le misure di tipo probabilistico sono quelle nella forma: rischio(π) = ρ(PLπ) (4.1) dove ρ : L → R (L spazio di variabili aleatorie) `e un funzionale che a una variabile aleatoria associa un numero reale. Consideriamo verificata la seguente propriet`a: Siano X e Y ∈ L due variabili aleatorie tali che X ∼ Y cio`e con la stessa distribuzione; allora ρ(X) = ρ(Y ). Questa propriet`a permette di vedere ρ direttamente sullo spazio delle distribuzioni. Sia X una v.a (indica il PL); secondo la teoria di Markowitz la ρ(X) da usare `e la deviazioni standard definita come: √ E[(X − E(X))2 ] 1 Essa pesa allo stesso modo la coda di sinistra (perdite) e quella di destra (profitti) ed il suo valore `e invariante per traslazioni ovvero: σ(X + 100) = σ(X). Le misure probabilistiche pi`u usate sono: • Value-at-Risk • Expected ShortfallIl Value-at-Risk (VaR) `e la misura di rischio di tipo probabilistico pi`u usata; esso rappresenta la massima perdita potenziale, per un assegnato livello di confidenza α e su un dato orizzonte temporale T, che un operatore finanziario pu`o subire su uno strumento finanziario (o su un portafoglio) in seguito a movimenti avversi sulle variabili di mercato ovvero: P(X 6 VaR) = α dove X = Xt rappresenta la perdita potenziale a un certo tempo di detenzione t 6 T o in maniera analoga pu`o essere definito come il valore al di sopra del quale ci si trover`a con un assegnato livello di probabilit`a (livello di confidenza) 1 − α: P(X > VaR) = 1 − α Si chiami X la variabile aleatoria che indica il Profit-and-Loss del portafoglio π e si supponga di conoscerne la densit`a fX(x) al tempo T. Allora il VaR al tempo T a livello di confidenza α `e il quantile di tale distribuzione ovvero `e il numero VaRα tale che: ∫ VaRα −∞ fX(y)dy = α Definizione 4.1. Ricordando la (4.1) possiamo definire il Value-at-Risk di ordine α ∈ (0, 1) del portafoglio π per l’orizzonte temporale T come: rischio(π) = VaRα(PLπ,T ) dove: VaRα(X) = −qα(X) Proposizione 4.1. Il VaR `e decrescente rispetto all’ordine ovvero: VaRα > VaRβ se α < β Dimostrazione. Se α < β allora, per la Definizione 3.1 e per la monotonia della funzione di ripartizione2 : qα < qβ ⇒ −qα > −qβ. Per la Definizione 4.1: VaRα > VaRβ

 

VaRα(aX + b) = aVaRα(X) − b per a, b ∈ R, a > 0 Dimostrazione. Basta ricordare la Proposizione 3.1 e la Definizione 4.1: VaRα(aX + b) = −qα(aX + b) = −aqα(X) − b = aVaRα(X) − b Osservazione 7. Dalla Proposizione 4.2 segue che: VaRα(X) = σVaRα(X˜) − µ con X := σX˜ + µ Parametri stabiliti. L’ordine α `e tipicamente piccolo; solitamente: - α = 0.01 se si sta trattando un rischio di mercato (Basilea II); - α = 0.05 se si sta operando un monitoraggio interno delle banche (J. P. Morgan); - α 6 0.01 se si sta trattando un rischio operativo. L’orizzonte temporale T pu`o essere di: - 10 giorni se si sta trattando un rischio di mercato (Basilea II); - 1 giorno se si sta operando un monitoraggio interno delle banche (J. P. Morgan); - 1 anno se si sta trattando un rischio operativo. 

Sono modelli per il calcolo del VaR che si espletano in un algoritmo chiuso che richiede dei parametri precisi di input. Vengono anche definiti secondo l’approccio varianza-covarianza; questa `e la metodologia standard per la misurazione dei rischi finanziari, diffusa attraverso l’applicazione Risk Metrics proposta da J. P. Morgan. E quello che si avvicina di pi`u alle definizioni ed ` ai concetti derivati dalla moderna teoria del portafoglio, in quanto esprime il VaR attraverso la matrice di varianza e covarianza. Tali metodi sono sintetizzabili nei seguenti passi: - determinazione dei fattori di rischio; - stima della matrice delle correlazioni di tali fattori; - stima delle volatilit`a dei fattori di rischio. 12

Per applicare tali metodi occorre assumere che: - la distribuzione dei rendimenti dei fattori di rischio sia di tipo normale; - la relazione tra posizione i-esima e il relativo fattore di rischio sia lineare. Volatilit`a. Statisticamente la misura impiegata per rappresentare la volatilit`a `e la deviazione standard, che misura la dispersione delle realizzazioni intorno al loro valore atteso. Considerando una serie di n rendimenti3 Rl , la deviazione standard `e: σ = vuut 1 N ∑ N i=1 (Rl,t − R) 2 dove: • N `e il numero di osservazioni; • R `e il rendimento medio dei rendimenti osservati; • Rl,t rendimento osservato all’istante t. Pi`u in generale si esprime la volatilit`a come: σt = σ(Rl,t+1|Ft) 4 (4.2) Generalmente, se per i calcoli si usano dati ad alta frequenza e si suppone che T ≈ 10 giorni, `e ragionevole supporre che Rl ≈ 0. Il metodo indubbiamente pi`u diffuso per ottenere una previsione della volatilit`a relativa ad un certo tempo futuro `e quello che si basa sulla stima della volatilit`a passata (volatilit`a storica). Questa misura si rivela, a volte, inadeguata per cogliere le peculiarit`a proprie delle serie storiche delle attivit`a finanziarie. Infatti, l’ipotesi implicita nel calcolo della volatilit`a storica, come stima di quella futura, `e che la variabile della quale si intende misurare la volatilit`a sia caratterizzata da una distribuzione normale stazionaria, con media e varianza costanti, ipotesi spesso smentita dal comportamento reale delle variabili finanziarie. Per aggirare questo problema si sono creati modelli sostitutivi a (4.2) per il calcolo della volatilit`a:

Modello ARCH(1): σt = aR2 l,t + c con a ∈ (0, 1] e c > 0; • Modello GARCH(1,1): σt = aσ2 t−1+bR2 l,t+c con a, b, c > 0 e a+b < 1; • Modello EWMA: σ 2 t = λσ2 t−1 + (1−λ)R2 l,t con λ ∈ (0, 1] (RiskMetrics suggerisce λ = 0.94); • Volatilit`a implicita: ricavata invertendo la formula di prezzo di Black and Scholes. Correlazione. La correlazione misura il co-movimento di due o pi`u variabili: tra due variabili X e Y si esprime come: ρX,Y = σXY σXσY Se le variabili sono X1, ..., Xd con d > 2 si avr`a una matrice di correlazione dove gli elementi sono della forma: ρi,j = cov(Xi , Xj ) σiσj con i, j = 1, ..., d 5 (4.3) Posto: - Σ = (cov(Xi , Xj ))i,j=1,...,d la matrice di covarianza (quadrata e simmetrica di ordine d) - C = (ρi,j ) i,j=1,...,d la matrice di correlazione (quadrata, simmetrica, definita positiva con diagonale principale unitaria) si ottiene la relazione tra Σ e C: Σ = DCD dove D = diag(σ1, σ2, ..., σd). Volatilit`a e correlazioni sono i due parametri fondamentali per il calcolo del VaR e rappresentano i parametri di input del modello. Esistono diversi approcci parametrici per il calcolo del VaR: approccio RiskMetrics; 3. approccio portafolio-normal; 4. approccio delta-gamma. Analizziamo nel dettaglio l’approccio 1: Approccio delta-normal Per calcolare il rischio di un portafoglio di pi`u attivit`a finanziarie si considerano i coefficienti di correlazione tra i rendimenti dei diversi fattori di mercato coinvolti. Questo approccio parte dall’analisi della volatilit`a dei rendimenti dei fattori di mercato e ipotizza che tali rendimenti siano distribuiti normalmente ovvero che il vettore dei rendimenti R = (R1, R2, ..., RN ), dove N denota il numero di asset componenti il portafoglio, sia distribuito come una normale multivariata6 , cio`e con distribuzione: f(r1, r2, ..., rN ) = K exp(− 1 2 Ar · r + b · r) dove: r = (r1, r2, ..., rN ) T ∈ R N ; A `e una matrice simmetrica7 e definita positiva8 ; b = (b1, b2, ..., bN ) T ∈ R N . Ricordando la (1.2) e la Proposizione 1.1, definendo la somma inizialmente investita nell’asset n-esimo come vn = πnAn,0 si ha: PLπ = ∑ n πnAn,0Rn ≃ ∑ n πnAn,0Rl,n = ∑ n vnRl,n = v tR dove: v = (v1, v2, ..., vN ) `e il vettore degli investimenti iniziale negli N asset. Rifacendoci all’equazione (A.1) del punto 11 dell’Appendice A otteniamo il seguente risultato: Proposizione 4.3. R ∼ Nd(µ, Σ) ⇒ PLπ ∼ N (v tµ, v tΣv) 

 

Osservazione 8. Spesso si preferisce assumere: µ = E[R] = 0 invece che stimare µ: l’errore statistico sarebbe maggiore di |µ|. Risalendo all’Osservazione 7 si ottiene: Proposizione 4.4. PLπ ∼ N (µPL, σ2 PL) ⇒ VaRα(PLπ) = σPLVaRα(PL˜ π) − µPL dove: PLπ = σPL˜ π + µ Esempio 4.1. Se α = 1%, ricordando che PLπ `e distribuito normalmente e che il VaRα di una variabile normale standard X si calcola in modo numerico attraverso le funzioni MATLAB normcdf e norminv (VaRα(X) = 2.326) otteniamo la formula di calcolo: VaR1%(PLπ) = 2.326√ vtΣv − v tµ Diversi sono i modi con cui calcolare la matrice di covarianza Σ: • la stima pi`u naturale `e : Σ = 1 K ∑ k Rk(Rk) t dove (R1, ..., Rk) `e la serie storica dei vettori dei rendimenti; • in via numerica si pu`o usare la funzione MATLAB cov; • ricordando la relazione 11 del punto 11 dell’Appendice A si pu`o pensare di stimare separatamente le volatilit`a e le correlazioni e di calcolare la Σ. L’approccio delta-normal si pu`o applicare per: * portafogli azionari; * portafogli di obbligazioni;

portafogli di currency forward 9 ; * portafogli di azioni e derivati azionari; * portafogli di obbligazioni e derivati sul tasso. Esso non `e adatto ad asset non lineari (opzioni) e in genere non si applica al rischio di credito e/o quando l’orizzonte temporale `e lungo (1 mese o pi`u)

 

Expected Shortfall Secondo l’articolo pubblicato da Artzer nel 1997 si definisce misura coerente di rischio una funzione p : V → R con V insieme di variabili casuali tale che sia: • monotona: X, Y ∈ V, X 6 Y ⇒ p(X) 6 p(Y ); • sub-additiva: X, Y ∈ V, X + Y ∈ V ⇒ p(X + Y ) 6 p(X) + p(Y ); • omogenea positiva: X ∈ V, h > 0, hX ∈ V ⇒ p(hX) = hp(X); • invariante per traslazioni: X ∈ V, a ∈ R ⇒ p(X + a) = p(X) − a. Sorprendentemente il VaR, pur essendo la misura di rischio adottata come migliore procedura, non `e sempre una misura coerente di rischio perch´e non soddisfa, per distribuzioni diverse da quella Gaussiana, l’assioma di subadditivit`a. Questa propriet`a esprime il fatto che un portafoglio composto da sottoportafogli avr`a un ammontare di rischio che `e al pi`u la somma dell’ammontare di rischio dei suoi singoli sottoportafogli. Per una misura subadditiva la diversificazione del portafoglio conduce sempre a una riduzione del rischio, mentre per le misure che violano questo assioma la diversificazione produce un incremento nel loro valore quando i rischi parziali sono provocati da eventi che non hanno un andamento esattamente concorde. Inoltre il VaR non fornisce una stima per l’ampiezza delle perdite in quegli scenari in cui la soglia del VaR `e superata. Nasce quindi l’esigenza di una misura di rischio coerente anche nei casi di distribuzioni non normali: l’Expected Shortfall (ES) `e una misura sub-additiva del rischio che descrive quanto le perdite siano ampie in media quando esse eccedono il livello del VaR, utilizzata per lo pi`u da fonti d’investimento e compagnie d’assicurazione.

Expected Shortfall Secondo l’articolo pubblicato da Artzer nel 1997 si definisce misura coerente di rischio una funzione p : V → R con V insieme di variabili casuali tale che sia: • monotona: X, Y ∈ V, X 6 Y ⇒ p(X) 6 p(Y ); • sub-additiva: X, Y ∈ V, X + Y ∈ V ⇒ p(X + Y ) 6 p(X) + p(Y ); • omogenea positiva: X ∈ V, h > 0, hX ∈ V ⇒ p(hX) = hp(X); • invariante per traslazioni: X ∈ V, a ∈ R ⇒ p(X + a) = p(X) − a. Sorprendentemente il VaR, pur essendo la misura di rischio adottata come migliore procedura, non `e sempre una misura coerente di rischio perch´e non soddisfa, per distribuzioni diverse da quella Gaussiana, l’assioma di subadditivit`a. Questa propriet`a esprime il fatto che un portafoglio composto da sottoportafogli avr`a un ammontare di rischio che `e al pi`u la somma dell’ammontare di rischio dei suoi singoli sottoportafogli. Per una misura subadditiva la diversificazione del portafoglio conduce sempre a una riduzione del rischio, mentre per le misure che violano questo assioma la diversificazione produce un incremento nel loro valore quando i rischi parziali sono provocati da eventi che non hanno un andamento esattamente concorde. Inoltre il VaR non fornisce una stima per l’ampiezza delle perdite in quegli scenari in cui la soglia del VaR `e superata. Nasce quindi l’esigenza di una misura di rischio coerente anche nei casi di distribuzioni non normali: l’Expected Shortfall (ES) `e una misura sub-additiva del rischio che descrive quanto le perdite siano ampie in media quando esse eccedono il livello del VaR, utilizzata per lo pi`u da fonti d’investimento e compagnie d’assicurazione.

Value-at-Risk ed Expected Shortfall a confronto Teorema 4.8. Sia Z una variabile aleatoria con distribuzione normale standard10. Allora: limα→0 ESα(Z) VaRα(Z) = 1 Dimostrazione. Sia Z ∼ N (0, 1), FZ la sua funzione di ripartizione e f(z) la sua densit`a; per la Definizione 3.1 poniamo: qα(Z) := zα = F −1 (α) Ne consegue che VaRα(Z) = −zα e ESα(Z) = −E[Z|Z 6 zα] = f(zα) α . Poniamo y := F −1 (α) e α = F(y). Poich`e y → −∞ per α → 0, studiamo il limite per y → −∞: ESα(Z) VaRα(Z) = −f(F −1 (α)) α · 1 F −1 (α) = −f(y) F(y) · 1 y = − F ′ (y) F(y) · y (applicando de l’Hˆopital nei due passaggi seguenti) = − F ′′(y) F(y) + F′ (y) · y = − F ′′′(y) F′ (y) + F′′(y)y + F′ (y) = − F ′′′(y) 2F′ (y) + F′′(y)y = − f ′′(y) 2f(y) + f ′ (y)y = − ( √ 1 2π exp (− y 2 2 ) )′′ 2 √ 1 2π exp ( −y 2 2 ) + y ( √ 1 2π exp ( −y 2 2 ) )′ = ( − √ 1 2π exp (− y 2 2 ) · − 2y 2 )′ √ 2 2π exp ( −y 2 2 ) + y ( √ 1 2π exp (− −y 2 2 ) · (−y) ) = √ 1 2π ( exp (− y 2 2 ) + y exp (− y 2 2 )(−y) ) √ 1 2π ( exp (− y 2 2 )(2 − y 2 ) ) = 1 − y 2 2 − y 2 = 2 − 1 − y 2 2 − y 2 = 1 − 1 2 − y 2 −−−−→ y→−∞ 1 

 

Rosita Zanetti 

 

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